Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

166 Vierter Abschnitt
bedeutend: welches sind die Theiler der Form x2 - n?
Hier gilt. nun zunächst die einfache Bemerkung, dass
diese Theiler übereinstimmen mit den Theilern der
homogenen Form t2 - nu2, wenn t, u zwei Unbestimmte
bedeuten, denen nur relativ prime Werthsysteme beigelegt werden sollen. In der That enthält offenbar diese
Form, da sie mit der ersteren identisch wird, wenn t = x,
= — 1 gesetzt wird, alle Zahlen der ersteren, und hat daher
auch ihre Theiler. Andererseits, wenn m ein Theiler der
Form t2 - nu2 ist, muss u jedenfalls relativ prim zu m sein,
weil jeder Primfaktor, der m und u gemeinsam wäre, nothwendig auch in t aufgehn müsste; hieraus folgt aber die Möglichkeit, eine ganze Zahl v so zu bestimmen, dass uv -1
(mod. m) wird, und wenn man dann jene Form mit der ersichtlich zu m relativ primen Zahl v2 multiplicirt, so wird
offenbar der Ausdruck
v2 (t2 - nu2) - - n (mod. m)
sein, indem man unter x den Werth vt versteht; folglich ist
m auch ein Theiler der Form x2 - n. - Wir gelangen so
zu der Frage: welches sind die Theiler der Form t2 - nu2?
Und diese werden wir gelöst haben, sobald uns die andere
Untersuchung gelingt, die sämmtlichen Zahlen anzugeben,
welche durch jene Form darstellbar sind.
Das so uns entgegentretende Problem von der Darstellung
einer Zahl durch eine homogene Form zweiten Grades veranlasst uns, die Theorie der sogenannten binären quadratischen Formen hier anzuschliessen, eine Theorie, welche
nur eine erste Stufe ist zu einem unermesslich ausgedehnten
Gebiete der Mathematik, der Lehre von den homogenen
Formen überhaupt, welche uns aber selbst schon so reichen
Stoff zur Untersuchung bieten wird, dass wir bei ihr allein
hinfort stehen bleiben wollen.
Man nennt in der Zahlentheorie quadratische Form
jede homogene ganze Funktion zweiter Dimension von zwei
oder mehreren Unbestimmten, deren Coefficienten ganze
Zahlen sind, und unterscheidet nach der Anzahl der Unbestimmten diese Formen in binäre, ternäre, quaternäre