Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

2 Einleitung.
anderfolge, in welcher wir sie in unsere Vorstellung aufnehmen, und welche wir bestimmen oder,,markiren" dadurch,
dass wir ihnen bestimmte Merkzeichen beliebiger Art,
z. B. die gewohnten Zeichen
(1) 1, 2, 3, 4, 5,...
beilegen, sie also als erste, zweite, dritte Stelle. s.w.
kennzeichnen. Das Zeichen, weiches einer bestimmten Stelle
entspricht, nennen wir ihre Ordnungszahl; da der Vorstellungsakt immer wieder erneuert werden kann, ist die Reihe
der Einzelvorstellungen und somit auch die Reihe der Ordnungszahlen durchaus unbegrenzt.
Wenn wir so für die Einheiten, aus welchen eine Vielheit
besteht, durch Zuordnung der aufeinanderfolgenden Ordnungszahlen die Stellen kennzeichnen, welche sie in der Folge, in
der wir sie auffassen, einnehmen, so sagen wir: wir zählen
die Einheiten, welche die Vielheit bilden, ab. Hierbei
wird die Reihe der aufeinanderfolgenden Ordnungszahlen in
bestimmtem Umfange zur Verwendung kommen. Ist a die
letzte Ordnungszahl, welche zur Verwendung kommt, muss
man bis a zählen, um alle Einheiten zu erschöpfen, so heisst
a die Anzahl der Einheiten, aus denen die Vielheit besteht.
Anzahl - kürzer: Zahl, ganze Zahl - ist also
der Umfang der Merkzeichen (der Ordnungszahlen),
deren man bedarf, um sämmtliche Einheiten, aus
denen eine bestimmte Vielheit besteht, zu unterscheiden.
2. Die Thätigkeit, durch welche wir eine Folge von
Einzelvorstellungen zu einer Gesammtvorstellung verknüpfen,
kann wieder als ein besonderer, einziger Akt aufgefasst
werden; eine Folge solcher Akte lässt uns daher, wie vorher
Einzeldinge, jetzt Vielheiten A, B, C,... unterscheiden.
Denkt man sich nun die Einheiten, aus denen A und aus
denen B besteht, gleichzeitig abgezählt, d. h. je eine Einheit aus A und B jedesmal derselben Ordnungszahl zugeordnet, so sind zwei Fälle möglich: entweder erschöpfen
sich beide Vielheiten A, B gleichzeitig, d. h. die letzte der
verwendeten Ordnungszahlen ist für beide dieselbe, oder nicht,