Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 163
Alles gipfelt demnach in dem Nachweise, dass
eine Zahl M vorhanden ist, für welche
(M, p) - 1
ist.
1) Für Primzahlen von der Form p =- 4k + 3 folgt dies
ganz einfach aus der für M_- M' (mod. p) geltenden
Formel
Du-1
(M, p) (M, p). (-1) 2
Man wähle M'=- 1, 1 2p - 1, so wird sogleich
p-1
(M,p)= (1,p).(-1) 2=-1.
2) Ist p von der Form 8k + 5, so hat 2(p + 1) die
Form 4k + 3; setzt man also M -= - (p + 1), so ist p -- 1
(mod. M1) und nach derselben Hilfsformel also
M —
(p, M) =(1, ).(-) 2 = -
und wegen der Reciprocitätsgleichung auch
(Mp) = - 1.
3) Bei der letzten nun noch möglichen Classe der Primzahlen von der Form 8k + 1 wollen wir annehmen, für
jede dieser Primzahlen, welche kleiner sind als eine Primzahl
'i derselben Form, sei eine Zahl M von der angegebenen Art
wirklich vorhanden. Dem schon bewiesenen Satze zufolge
stimmt dann das Symbol (Q,p) für jede Primzahl kleiner als
'i mit dem Symbole (Q) überein. Der voraufgeschickte Hilfssatz gestattet uns aber, eine unterhalb 5 liegende Primzahl
p anzugeben, von welcher w5 quadratischer Nichtrest ist.
Nach der letzten Bemerkung ist also
(-p) J = ()- - 1 2
und nunmehr folgt aus der Reciprocitätsgleichung (62) sogleich, dass