Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

160 Dritter Abschnitt
P-1 Q-l
P-1 Q' —1
(', P). (P, ') = (-i) 2 2
P-i QQ' —
(QQ',P) (P, QQ')-( ) 2 2
werden die beiden ersteren in einander multiplicirt und mit
der letzteren verglichen, so lehrt die zuletzt gefundene Beziehung im Verein mit der Congruenz
Q' -2 Q - Q'Q Q 1Q21 + 2- - (mod. 2)
die neue Beziehung:
(67) (P, QQ') =(P, ) (P,(, Q').
19. Aus der Reihe der so gewonnenen Eigenschaften des
Symbols (Q, P) können wir nunmehr seine Identität mit dem
verallgemeinerten Legendre'schen Symbole (Q) erweisen.
Die letzte Beziehung lehrt sogleich, dass diese Identität
sicherlich stattfindet,
(68) (Q, P) =(
sobald für jede ungerade Primzahl p das Symbol mit dem
einfachen Legendre'sehen identisch, also
(69) (Qp) = ()
ist. Dies letztere suchen wir nachzuweisen.
Wir könnten es erreichen, indem wir die fundamentale
Congruenz in der Form (55) und das Euler'sche Criterium
zu Hilfe nähmen; jedoch würden wir mit dem letzteren schon
das eigentliche Gebiet der quadratischen Reste verlassen; viel
interessanter ist's, dass sich zeigen lässt, wie man, ganz wie
der erste Gaussische Beweis, durch Betrachtungen zum Ziele
gelangen kann, welche innerhalb dieses Gebietes sich bewegen. Wir brauchen uns zu diesem Vorhaben sehr beachtenswerther Weise nur, statt auf das Euler'sche Criterium, auf
jenen andern Gaussischen Hilfssatz*) zu stützen, durch
*) Disquis. arithmet. art. 129.