Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 159
(64) (Q, P)= ( ', P)
hervorgeht.
Ist dagegen
Q - -Q' (mod. P)
also auch (mod. 2P), so findet sich ebenso leicht
h (Q') _ 1 + E ( m-) (nod. 2),
also
E E( ) P -+2E1 '
h l/
woraus sogleich die Beziehung
P-1
(65) (Q,P)= (Q'P) (- 1)
hervorgeht.
Beachtet man ferner, dass aus der Congruenz (43), wenn
r den kleinsten positiven Rest von h Q (mrod. P) bedeutet,
je nach dem Vorzeichen r = h' oder r P - h' sich findet,
während nach (59)
EQ-) + E(( )Q Q, 1
ist, so wird
entweder E ( E) (h
oder Ei(Q) = (h-) (mod. 2)
sein. Aus der leicht zu bestätigenden Gleichung
E(hQ') = Q'~ E(7) Q + (" )
folgt mit Rücksicht hierauf jedenfalls
E(hVQ) E h(Q) + E(h 1) (mod. 2).
P-1
Durchläuft aber h seine Werthe 1, 2, 3,... 2, so thuts
auch h', und folglich findet sich kraft dieser Congruenz und
der Gleichung (63) ohne weiteres:
(66) (Q ', P) = (Q, P) (Q', P).
Nach der Reciprocitätsgleichung (62) folgen die Gleichungen: