Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

158 Dritter Abschnitt
dass sich aus ihnen ein neuer Beweis des Reciprocitätsgesetzes
entwickeln lässt, welcher besonders darin bemerkenswerth ist,
dass er gewissermassen dem ersten Gaussischen Beweise an
die Seite tritt. Wir können es uns nicht versagen, zum
Schluss auch diesen Beweis hier noch mitzutheilen.
Seinen Ausgangspunkt bildet der Kronecker'sche Ausdruck
(61) (Q, P) sgn. I1 (- )
P-i
für h =, 2, 3,.., k = 1, 2, 3, * *.
welchen wir zur Abkürzung durch das Symbol (Q, P) bezeichnet haben; und seine Methode besteht darin, aus diesem
Ausdrucke selbst durch Entwicklung seiner Eigenschaften den
Nachweis zu führen, dass er mit dem Jacobi'schen Symbole
(-Q identisch ist.
Unmittelbar erkennt man aus dem Ausdrucke die Reciprocitätsgleichung:
P-1 Q —i
(62) (P, Q) ((, P)-(-1) 2
nicht weniger einfach auch die Beziehung
2 ~(P)P
(63) (Q, P) - (- 1).
Ist Q' eine zweite positive, ungerade und zu P relativ prime
Zahl, so wird entsprechend
(Q', P) - (- ) 1)"
sein. Wenn aber Q, Q' einander (mod. P) congruent sind:
Q- Q' (mod. P),
so sind sie's auch (mod. 2P), und man findet sehr leicht
E ( -)-. E( Q) (mod. 2)
also auch
7E (hQ) =2E( p),
hwor h
woraus sogleich