Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 157
(630) sgn. pR () - Sgn ( 1 Q
Soweit gilt alles, wie beschaffen die positiven
ungeraden Zahlen P und Q auch sind, und daher
würde das verallgemeinerte Gaussische Lemma oder
die Formel (50) sogleich uns die Bestimmung des
Jacobi'schen Symbols durch die Gleichung (58) ergeben. Zur Darstellung des dritten Gaussischen Beweises
aber haben wir nun unter P, Q zwei Primzahlen p, q zu verstehen. In diesem Falle führt dann die Congruenz (46), wenn
sie für alle Zahlen h- =, 2, 3,... gebildet wird, genau
wie beim vorigen Kronecker'schen Beweise allein miit Iilfe
des Euler'schen Criteriums zu der Folgerung:
hk
1 —I
k-= 1, 2, 3,...
eine Formel, die an Stelle des Gaussischen Lemma steht und,
mit der analogen:
q) gn. j(p q
verglichen, ohne weiteres das Legendre'sche Reciprocitätsgesetz ergiebt.
18. Alle diese Betrachtungen, welche darauf zielen, füir
das Symbol (Q) oder das einfachere ( A usdrücke ierzuleiten, wie die im verallgemeinerten Gasussischen Lemma oder
den ihm gleichbedeutenden Formeln (50), (57), (58) von uns
gegebenen, geeignet, das Reciprocitätsgesetz erkennen zu
lassen, sind nur als Abarten oder Umgestaltungen des dritten
Gaussischen Beweises anzusehen. Kronecker hat ihnen
nun aber auch eine solche Richtung zu geben verstanden*),
*) Mittheilung vom 22. Juni 1876 ~ 3, sowie diejenige vom 7. Febr,
1884 No. IV,