Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 155
Beweis selbst miit solcher Herleitung einer Formel,
welche das Reciprocitätsgesetz unmittelbar erkennen
lasst, seine denkbar einfachste Gestalt.*)
1. Nach der Bedeutung des Zeichens E(x) ist allgemein
für jedes nicht ganzzahlige x
x = (x) +,
WO
0< < 1.
Daraus folgt, so oft Q eine ganze Zahl ist,
Q- - 9 - E(x) -1 + -,
wo t='- 1- ~ ebenfalls positiv und kleiner als 1 ist, mit
andern Worten:
E(Q - x) =- Q - E(x) 1 -oder
(59) '(x) + E(Q -x) Q —.
II. Ferner findet sich
2x - 2E(x) + 2t,
und demnach, wenn t < -, d. h. /(x) > 0 ist,
EJ(2x) = 2E(x) also gerade,
wenn aber p > -, d. Ih. 1(x) < 0 ist,
E(2x) = 2E(x) + 1 also ungerade.
Aus diesen zwei, im Art. 4 der betreffenden Abhandlung
(Op. II pag. 1) enthaltenen Gaussischen Grundgedanken folgt
unmittelbar
gn. R(x) = (- 1)R(2X)
oder auch, nach (59), so oft Q ungerade, also Q- 1 gerade ist,
sgl2. R(x) =(- ()'(Q-2 )
Demnach kann man auch nach Belieben
*) Kronecker hat in einer Notiz in den Sitzungsber. der Berl.
Ak. v. J. 1885 noch eine sehr einfache Darstellung dieses Ganssischen
Beweises gegeben, die einen etwas andern Ausgangspunkt nimmt; der
Kürze wegen muss hier darauf verwiesen werden.