Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 151
Anzahl eine Einheit, und der Exponent der rechten Seite ist
demnach der Anzahl aller Combinationen, d. i. 2
gleich, das allgemeine Reciprocitätsgesetz also bewiesen.
16. Durch eine andere geeignetere Einkleidung desselben
Grundgedankens, aus welchem dieser Schering'sche Beweis
geflossen ist, ist Kronecker zu einem besonders einfachen Beweise des Legendre'schen Reciprocitätsgesetzes geführt worden.') Die Bemerkungen, welche wir
iber die Vorzeichen der Ausdrücke
x —k und x + -
gemacht haben, beweisen unmittelbar die Richtigkeit der allgemeinen Formel:
(53) sgn. R(x) = sgl.J (X - ). (x + - - )
k
wenn die Multiplikation über alle positiven ganzen Zahlen k
bis mindestens g = E(x + -) inclusive fortgesetzt wird; im
besondern ergiebt sich demnach
sgn. BR (hQ) sgin.f ( 7) ( - + 2 - )
k
Q-i
für k = l, 2, 3, Q..
eine Formel, welche eine gleiche Umgestaltung zulässt, wie
wir sie im vorigen am Exponenten von -1 vollzogen haben,
und dann die Gestalt erhält:
sgn. A\ B~ig h>Q\ T/7 h k h k 1
(54) sgU. R ( ) = sCn. ( - ). (p + )
Vermittelst derselben geht unsere Grundformel (46) in
nachfolgende über:
(55) h 9 — h'.sgn.lJ( - ) (1> + Q (mod. P).
P --- 1
Durchläuft nun h seine Werthe 1, 2, 3,... -, womit
auch h' dasselbe thut, so ergiebt sich durch Multiplikation:
~) Sitzungsber. vom 7. Febr. 1884, II.