Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

148 Dritter Abschnitt
(50) f sgn. R ) - )
h
Man findet demnach aus (47)
(51) () =(- ir)
und in dieser Formel haben wir das verallgemeinerte
G-aussische Lemma: Ist /t die Anzahl derjenigen (mod. P)
genommenen absolut kleinsten Reste der Produkte
1.Q, 2.Q, 3.Q... P- q
welche negativ sind, so ist (Q)-: — 1l, jenachdeni. p
gerade oder ungerade ist.
15. Auf Grund dieses verallgemeinerten Gaussischen
Lemma oder der mit ihm gleichbedeutenden Formel (50) lässt
sich das Reciprocitätsgesetz und zwar sogleich in seiner
verallgemeinerten Gestalt auf folgendem, von E. Schering
angegebenen Wege bestätigen.
Wird zur Abkürzung die ganze Zahl G(x) mit g bezeichnet, so liegt, wie bemerkt, x -g stets zwischen -t -:
- <x-g<+ - 2
und daraus folgen die Ungleichheiten:
g<x + <g+,
welche zeigen, dass
ist. Der Ausdruck
x + 2-7 -erhält demnach, wenn x positiv ist und k die ganzen Zahlen
1,2, 3,...g
durchläuft, nur positive Werthe, wird aber negativ, sobald
k > g*); dasselbe gilt vom Ausdrucke
x — k,
*) Ist g = also R(x) > 0, so sind x + - 7 und x - k
negativ für jedes positive ganze k.