Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 145
Die Zahlen der Reihe (42) können in Classen getheilt
werden, indem man in eine und dieselbe Classe alle diejenigen
dieser Zahlen zusammenfasst, welche mit P denselben grössten
gemeinsamen Theiler haben. Sei d irgend ein Theiler von P,
so giebt es in der Reihe
1, 2, 3,... P- 1,
wie in No. 11 des 1. Abschnittes gezeigt worden, genau (p )
Zahlen h, welche mit P den grössten gemeinsamen Theiler d
haben, sodass, wenn
P= PPd, h hld
gesetzt wird, P1 und h7 relative Primzahlen sind; da zugleich
mit h auch P - h eine solche Zahl ist, finden sich in der
Reihe
P 1
l, 2, 3,... -
2
- p( kirzer - p(P1) solcher Zahlen 71. Ist aber h eine
solche Zahl dieser Reihe, so ist's nach der Congruenz (46)
auch h', sodass, wenn Lh'= hid gesetzt wird, h1 auch relativ
prim ist zu P1 und die Congruenz (46) übergeht in die
folgende:
(48) h1 Q- h1. sgn. R (hQ) (mod. P,);
durchläuft h die ganze Classe der demn Theiler d entsprechenden Zahlen, so wird's h' auch thun, während hl und:h die Zahlen der Reihe
1, 2, 3,... 2
durchlaufen, welche relativ prim sind zu Pl. Das Produkt
aller jener ist daher dem Produkte aller dieser gleich:
lh, == Hh,
und gleichfalls relativ prim gegen P1. Aus der vorstehenden
Congruenz gewinnt man demnach dann die Folgerung:
2 i Sglh, l. 1
Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie, 10