Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 143
Gaussischen Beweise wesentlich ankommt, werden wir naturgemäss auf eine nähere Untersuchung der Bedingungen gewiesen, unter denen in der Congruenz (43) das obere oder
untere Vorzeichen eintreten wird.
Wir führen zunächst einige sehr bequeme Bezeichnungen
ein. Während, wenn x positiv war, E(x) das grösste Ganze
bezeichnete, das in x enthalten ist, verstehen wir gegenwärtig für ein beliebiges x, sei es positiv oder negativ,
welches jedoch für das Folgende stets als nicht ganzzahlig
angesehen werden darf, darunter die grösste ganze Zahl,
welche algebraisch nicht grösser als x ist; mit G(x)
bezeichnen wir diejenige ganze Zahl, welche am nächsten
an x liegt, und setzen
(44) x - G (x) = 1(x),
sodass stets
1 > x - E(x) >
R(x) absolut <
ist. Ist nämlich
x - E(x) <,
so ist
G(x) = E(x)
also algebraisch kleiner als x, und folglich
o <1R(x) <;
ist dagegen
x E(x)> 2
so ist
G(x) = E(x ) + 1
also algebraisch grösser als x, und folglich
O > (x)> 2.
Bedeutet endlich i[x den Absolutwerth von x, so wird
L] nothwendig - 1 sein, und wir bezeichnen diese positive
oder negative Einheit nach Kronecker mit
sgn. x.