Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

142 Dritter Abschnitt
einfachen und seine eigentliche Quelle, die einfachsten arithmetischen Bestimmungen aufzudecken, aus denen er fliesst.
So sind der Schaar der Beweise für das Reciprocitätsgesetz
noch einige sehr einfache hinzugefügt worden, und da namentlich die Kronecker'schen Betrachtungen gewissermassen als
abschliessend, nimlich als solche bezeichnet werden dürfen,
welche volle Einsicht in die Natur und den Zusammenhang
der obwaltenden Beziehungen gewähren, wollen wir hier die
Lehre von den quadratischen Resten mit der Darlegung der
genannten Untersuchungen beschliessen.
Bei dem verallgemeinerten Gaussischen Lemma handelt
es sich um zwei ganze Zahlen P, Q, welche nicht mehr Primzahlen zu sein brauchen, die wir aber grösserer Einfachheit
wegen von vornherein als positiv, ungerade und ohne gemeinsamen Theiler, übrigens beliebig voraussetzen wollen. Man
betrachtet die Produkte
(40) 1.Q, 2.Q, 3.Q,.. Q
und ihre absolut kleinsten Reste (mod. P), Zahlen, die also
sämmtlich der Reihe
(41.) +1, +2, +2 3, 2..- 2
angehören. Bezeichnet man allgemein für eine Zahl h, aus
der Reihe
(42) 1, 2, 3,... p
den absolut kleinsten Rest von h - Q mit r -— ', der Art, dass
(43) hQ- + h' (mod. P)
und auch h' eine Zahl der Reihe (42) ist, so überzeugt man
sich genau wie beim Gaussischen Lemma, dass die den
sämmtlichen Zahlen h der Reihe (42) entsprechenden Zahlen
h' diese ganze Reihe erschöpfen.
Die Anzahl derjenigen h, für welche der absolut kleinste
Rest negativ, also in der Congruenz (43) rechts das untere
Zeichen zu nehmen ist, werde wieder durch,t, und als die der
Zahl Q (mod. P) entsprechende Gaussische Charakteristik
bezeichnet. Für ihre Bestimmung, auf welche es beim dritten