Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 141
Man findet nun k = 3, also 143) - 1, und demnach
4272943/ + 1.
Gauss hat (Diquis. Arithm. art. 328) die Wurzeln der Congruenz
x _- 286 (mod. 4272943)
ermittelt und gefunden
x -= 1493445.
1773 \
2) Sei zu bestimmen (73)43 Die hier geltenden Gleichungen (39) lauten:
773= 2 * 343 + 87
343= 4 87 — 5
87 18 5 — 3
5- 2. 3- 1,
/773 \
woraus k7 = 3, folglich ( 3 - 1 gefunden wird. Die
Congruenz
x2 773 (mod. 343)
ist also unlösbar.
13. Wir kehren nunmehr noch einmal zum Gaussischen
Lemma zurück, welches die wesentliche Grundlage des oben
für das Reciprocitätsgesetz mitgetheilten Beweises bildet. Eine
Verallgemeinerung dieses principiellen Satzes, wie sie zuerst
von E. Schering durch eine Mittheilung an die Berliner
Akademie*), sowie durch Kronecker in seinen Universitätsvorlesungen bekannt gegeben worden ist, ist diesen Forschern
Anlass geworden, wiederholt auf den dritten Gaussischen
Beweis zurückzukommen**), um ihn nach Möglichkeit zu ver*) Monatsberichte der Berliner Akademie vom 22. Juni 1876.
**) S. E. Schering's Abhandlung in dem 1. Bande der Acta mathematica, sowie seinen Beweis des Reciprocitätsgesetzes in den Göttinger
Nachrichten 1879 p. 217; ferner Kronecker in den Monatsber. der
Berliner Akademie vom 22. Juni 1876; desgl. seine Abhh.: Beweis des
Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, in den Sitzungsber.
der Berl. Akad. vom 7. Febr. 1884, Ueber den dritten Gaussischen
Beweis etc., 12. Juni 1884 (auch im J. f. d. r. u. a. Math. Bd. 97 p. 93)
und Bemerkung zu Hrn. Ernst Schering's Mittheilung, Sitzungsber.
vom 5. Febr. 1885.