Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

140 Dritter Abschnitt
Werden nun die sämmtlichen Gleichungen (39) in einander
multiplicirt, so entsteht links einfach p-); denn, da der Werth
des Jacobi'schen Symbols stets 4- 1 ist, giebt jedes solches
Symbol in sich selbst multiplicirt + 1. Auf den rechten Seiten
aber steht überall + 1, ausgenommen die in der Regel bezeichneten Fälle, in denen gleichzeitig Pi und i Pi+l von der
Form 4h + 3 sind, wo dann die rechte Seite den Werth - 1
hat. Geschieht dies / mal, so findet sich also in der That
Wird insbesondere diese Regel angewendet auf zwei verschiedene ungerade Primzahlen P =-p, P1 = q, so dient sie
zur einfachen Entscheidung des quadratischen Charakters der
ersten zur zweiten, womit die Beantwortung der dritten Frage
vollständig geleistet ist.
Um an einigen Beispielen die Regel zu erläutern,
wählen wir
1) das Sy mbol (4\2794') Wird zur Abkürzung der
Nenner n genannt, so ist das Produkt gleich dem Produkte
--. (i).(143)
n ) (n) n
Der erste Faktor ist - 1, da n von der Form 4h + 3, der
zweite Faktor ist +-1, da n von der Form 87 + 7 ist, also
ist zunächst der Werth des Symbols gleich
/143\
Um letzteres zu ermitteln, stellen wir die Gleichungen (39)
auf, welche hier folgende sind:
143 0 n + -143
n == 29880 143 + 103
143 = 2 103- 63
103 2 63- 23
63- 2 23 - 17
23- 2 17 — 11
17- 2. 11 — 5
11 = 2. 5 -- 1.