Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 139
(~)
Die Begründung dieser Regel ergiebt sich unmittelbar durch
die in der vorigen Nummer entwickelten Forrneln. Nach der
ersten Gleichung (38) ist
P E1 P, (mod. P1),
folglich
(P) (E P2)
und hieraus
( ~) (~ ) ~,
(1 1 Ei \ (p) Pi ( 2* p)
Diese Gleichung kann aber nach dem Reciprocititsgesetze,
welches gilt, da eine der beiden Zahlen P1, e8P. wenigstens
positiv ist, durch nachstehende einfachere ersetzt werden:
(39) ( (+() (2
und ähnlicherweise entstehen die folgenden Gleichungen:
P2 -1 i 3 - J(P39' ( )(P-() 1) 2 2
(39)..... *. * * *
Die letzte der Gleichungen (38) giebt zunächst
(Pn x 1) (P= +___
jenachdelm e+,1 + 1 ist, hat dies Symbol den Werth + 1
Pn+l — 1
oder (- 1) 2; da man aber im ersten Falle
en,+l ~ + _ 1 n r-2 1
2 2
gleich 0, im zweiten gleich -1 hat, kann man jene Gleichung
auch, übereinstimmend mit den früheren, so schreiben:
) ) ~,)+1-2 n+lPn+2-1
(3,J) (2 2