Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

138 Dritter Abschnitt
nach aus der Reihe 1, 2, 3,... - 1 ist. Allgemein lässt
sich daher schreihen:
(38) P= 2k1, P1 + s1 * P2,
wobei k1 eine ganze Zahl,, =- - 1 und P2 eine positive,
offenbar ungerade Zahl kleiner als P1 ist; die letztere kann
auch keinen gemeinsamen Theiler mit P1 haben, da dieser
gegen die Voraussetzung auch in P aufgehen, d. i. P und P1
gemeinsam sein würde. Folglich kann man jetzt eine ähnliche Formel aufstellen:
(38) P, - 22. P2 + 2, P3,
in welcher 7,2 eine ganze Zahl, 2 = + -1 und P3 eine positive ungerade Zahl kleiner als P2 und ohne gemeinsamen
Theiler mit P2 ist, u. s. f. Dies giebt eine Reihe ähnlicher
Gleichungen:
(38) P, = 21.3 *P3~ + 3.P4
u. s. f., allgemein
(38) P_- 27 * Pi -,i. Pi+i;
sie ist nothwendig eine endliche Reihe, da die neu entstehenden Zahlen P 3, P3, P4,... eine abnehmende Reihe
positiver ganzer Zahlen bilden; keine jener Zahlen aber kann
Null werden, ohne dass die nächst vorhergehende Zahl gleich 1
wäre, denn, würde etwa Pi+i = 0, ohne dass P = 1 wäre,
so hätten Pi-1 und Pi einen von 1 verschiedenen gemeinsamen Theiler, was der Art der Herleitung jener Gleichungen
widerspricht. Die Reihe muss also enden mit zwei Gleichungen
von der Form:
(38) bPn-1 2kn *Pn + n P.+t
Pn 27n12 Pn+ P + n++ P +2,
wo nun Pn+2 1 ist.
Denkt man sich dies System (38) von Gleichungen aufgestellt, so lässt sich der Werth des Symbols (p) nach
folgender Eisenstein'scher Regel sehr leicht bestimmen:
Man zähle, wie oft in jenen Gleichungen die beiden
aufeinanderfolgenden Zahlen Pi und EiPi+, von der
Form 4h- + 3 sind; ist diese Anzahl gleich k, so ist