Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 137
Q- 1 PI'-L P]. Q — P+-1 Q+-1
_, _ * t
( ) 2 22 2. 2 =( 1) 2 2-
d. i.
P'-1 Q'-i
eine nicht mit der Formel (37) übereinstimmende Gleichung.
12. An diese Verallgemeinerung der Sätze über quadratische Reste knüpfen wir, zu ihrem Abschlusse, noch eine
Bemerkung. Noch sind wir nämlich nicht dazu geführt
worden, die dritte Frage definitiv zu entscheiden: ist eine
gegebene ungerade Primzahl q von einer andern ungeraden Primzahl p quadratischer Rest oder Nichtrest? Das Reciprocitätsgesetz - auch in seiner Verallgemeinerung - giebt uns nur die Möglichkeit, die Frage nach
dem quadratischen Charakter einer Zahl bezüglich einer
zweiten zurückzuführen auf die umgekehrte. Wir sind nunmehr jedoch auch in der Lage, vermittelst der im Vorigen
abgeleiteten Sätze die genannte Aufgabe zu lösen, und zwar
können wir dafür eine sehr einfache Regel angeben,
welche Eisenstein*) aufgestellt hat.
Sind P und P1 zwei positive ungerade Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, so kann man bekanntlich stets setzen
P= QP, +R,
worin B eine ganze Zahl der Reihe 1, 2, 3,... P- 1 ist,
Q aber, je nach den Werthen von P, P1 eine gerade oder
ungerade Zahl sein kann. Im letzteren Falle könnte man jene
Formel aber durch die folgende ersetzen:
P= ( + 1)P - (P1 - R),
in welcher nun der Multiplikator von P1 eine gerade Zahl, der
Rest aber zwar negativ, doch wieder seinem absoluten Werthe
*) Einfacher Algorithmus zur Bestimmung des Werthes von (b),
in Crelle's Journal f. d. r. u. a. Mathematik Bd. 27 p. 317. Ganz
andere Methoden zu solcher Bestimmung hat Kronecker angegeben;
s. Monatsber. der B. A. vom J. 1880 und Sitzungsber. der B. A. v. J.
1884 p. 530.