Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

136 Dritter Abschnitt
d. i.
2 2 2 2 '
P~ —.
Da hier der erste Faktor, wie gezeigt worden, der Zahl
(mod. 2) congruent und ähnlich der zweite Faktor der Zahl
~721 (mod. 2) congruent ist, so wird der ganze Exponent
(mod. 2) dem Produkte P --- q — congruent, und damit ist
die Gleichung (37) bewiesen.
Die genannten Formeln lassen sich noch in etwas verallgemeinern, wenn man mittels der Definitionsgleichung (29b)
auch negative Nenner in Betracht zieht. Offenbar bleiben
dann die Formeln (31), (32) und (36) auch für den Fall giltig,
dass der Nenner P durch - P ersetzt wird. Dagegen ist
die Formel (34) für einen negativen Nenner falsch;
denn ist 1P'= - P, so würde nach der Definition
r-1 I-iL1
(;) (7) (- ^) (-i) 2
d. i.
P'- 1 P'- 1
(~,l)= —(-1)"7 ~ nicht -(-l) s
sein.
Desgleichen gilt die verallgemeinerte Reciprocitätsgleichung
zwar noch, wenn eine der Zahlen P, Q negativ ist, nicht jedoch, wenn sie es beide sind. Denn, ist zunächst P'F- -- P,
so würde
q(-1 2P —1 Q(7) ( i 2- ) +( - 2 2
also
P+1 Q-1 P_-l _ —.
(2 1) 2 (_1) 2
sein, die Formel (37) also bestehen bleiben. Ist dagegen
auch Q'- - Q, so findet sich
also gleich Q P
also gleich