Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 135
Hiernach kann der Exponent zur Rechten der Congruenz (35)
durch 8- ersetzt und diese Gleichung, analog der Formel
(24), folgendermassen geschrieben werden:
(36) () ( 1)
Endlich wird behauptet, dass für irgend zwei positive,
relativ prime und ungerade Zahlen P und Q folgendes verallgemeinerte Reciprocitätsgesetz besteht:
P-1 Q-1
(37) - ( (- ) 2 2
Heisst nämlich
Q = qqq"...
die Zerlegung von Q in seine gleichen oder verschiedenen
Primfaktoren, so ist, der Definition des Jacobi'schen Symbols und der Gleichung (31) gemäss
d. i. gleich dem Produkte aller Legendre'schen Symbole,
welche man erhält, wenn jeder Primfaktor in der Zerlegung
von P als Zähler mit jedem Primfaktor in der Zerlegung von
Q als Nenner des Symbols combinirt wird; desgleichen ist
()- =7(),
wenn die Zähler und Nenner vertauscht werden. Dies giebt
(Q). (P) -11() ()
und nach dem Reciprocitätsgesetze
P-t q-1
(Q) (g) -(- ~ *
wo wieder die Summation auf alle Combinationen je eines
Primfaktors p mit je einem Primfaktor q zu erstrecken ist.
Die Summe im Exponenten ist demnach nichts anderes als
das entwickelte Produkt
_L J _2 _ 4...)1. f - _ q'- _- _- [ 4..\
22 l2+