Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 133
(29 a) ( 1)und
(29 b) ( ) — )
sein soll.
Für das Jacobi'sche Symbol (29) mit positivem Nenner
gelten nun ganz analoge Sätze, wie für das Legendre'sche.
Zunächst fliesst unmittelbar aus der Definition die Bemerkung:
Ist in relative Primzahl gegen jede der zwei positiven
ungeraden Zahlen P und Q, so ist
(30) (m). (n)- ( Aß
denn, löst man die Jacobi'schen Symbole in Produkte von
Legendre'schen auf, so werden beide Seiten aus denselben
Faktoren bestehen müssen.
Ebenso leicht folgt, wenn m, m', m,... sämmtlich prii
sind gegen P, die zweite Formel:
(31) - - ) ( p) * p) e (-p ) * * *
welche der auf das Legendre'sche Symbol bezüglichen
Formel (9) ganz analog ist; man hat zum Beweise eben nur
diese Formel und die Definition des Jacobi'schen Symbols
zu verwenden.
Sind ferner m, m' (mod. P) congruent, so ist
(32) (p) P
denn m, m' sind dann auch nach jedem der in P aufgehenden
Primfaktoren p congruent und für einen solchen ist nach (8)
(A) = (m
Mit Hilfe dieser einfachen Definitionen und Sätze verallgemeinern wir nun die Formeln (18), (24) und (25). Ist
nämlich wieder
P =pp'p"..,
so folgt aus den Gleichungen
l( I -1) ' -1 ") 1
( p7 =(- '), -p ( —) '
(-2