Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

132 Dritter Abschnitt
nern, indem man dem Legendre'schen Symbole selbst,
wie Jacobi*) es gethan hat, ausgedehntere Bedeutung
verleiht, es nämlich auf den Fall ausdehnt, dass der
Modulus eine beliebige positive ungerade Zahl ist.
Sei P eine solche und, in gleiche oder ungleiche Primfaktoren
zerlegt,
so versteht Jacobi unter dem Symbole (), so oft m
eine relative Primzahl zu P ist, das Produkt
(29) (p ( p (p) ( )
Von vornherein muss auf einen wesentlichen Unterschied
zwischen dem Jacobi'schen und Legendre'schen Symbole
aufmerksam gemacht werden. Wir wissen, dass, jenachdem
-) == _ 1 ist, die Congruenz
x2 -i (mod.p)
möglich oder unmöglich ist. Nun hat zwar nach der Formel (29)
auch (~) nur einen der zwei Werthe + 1, und wenn es -- 1
ist, kann man sicher daraus schliessen, dass mindestens einer
der Faktoren (m), (,, (),... diesen Werth auch hat
p/ p p
und folglich in von einer der Zahlen p, p', p",... quadratischer Nichtrest ist, sodass dann auch die Congruenz
x2 In (mod. P)
unmöglich ist; mit nichten aber kann man auch umgekehrt
aus dem Werthe (p) =+ 1 schliessen, dass sie möglich ist,
denn diese Gleichung würde auch dann stattfinden, wenn m
für eine gerade Anzahl der Faktoren p, p, p",... quadratischer Nichtrest und in Folge davon jene Congruenz unmöglich ist.
Der Vollständigkeit wegen wollen wir das Symbol (-) auch für den Fall definiren, wo P= 1 oder
auch P negativ ist. Dazu bestimmen wir, dass
*) S. Monatsberichte der Berliner Akademie v. J. 1837.