Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 131
7 kp= 7Lq- 4-4
oder
(47 + 1)p= (47 -l)q
und folglich 4k + 1 durch q theilbar ist; dies ist, da 4k + 1
< 2q - 1 ist, nur so möglich, dass
q 47k +1,
folglich
= 4h - 1
ist. Die so erhaltene nothwendige Bedingung ist offenbar
auch hinreichend, und demnach ist c ungerade, wenn
gleichzeitig q =4k + 1, ) =-4h - 1 ist, gerade in
jedem anderen Falle.
Nachdem dies bewiesen, betrachten wir die Gleichung,U + v - +c,
in welcher beiderseits, verschieden gezählt, die Anzahl aller
Zahlen ac und y, resp. a, y' und y" notirt ist. Folgende
Fälle sind nur möglich:
entweder ist p = 4h +; dann sind und c und
folglich auch ihre Summe g + v gerade;
oder es ist p = 4h - 1 und q 4k - 1; dann sind
P - und c ungerade, ihre Summe, - v wieder gerade;
oder endlich: es ist p = 4h - 1, q = 4k - 1, dann
ist p- ungerade, c gerade, und demnach ihre Summe gt + v
ungerade.
Hiermit ist das Reciprocitätsgesetz bewiesen;
denn nach der Gleichung (28) wird (p-) ~ ( dann, aber auch
nur dann gleich -1, d. i. () und () von entgegengesetztem
Werthe sein, wenn beide Primzahlen p, q durch 4 getheilt
den Rest 3 lassen.
11. Die Formeln (18), (24) und (25), in welchen
die Beantwortung der drei von uns gestellten Fragen
enthalten ist, lassen sich beträchtlich verallgemei9 *