Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

130 Dritter Abschnitt
Hierin kann /c die Zahl -q2 nicht sein, denn man findet
q — p -- pl. qp
2 ' n- 2 ' 2
-- -
-1 1=q —L- (mod. q),
- p
worin der Rest q P weil offenbar positiv und < -, der
Reihe 6 angehört. Zu jeder Zahl /c aus der Reihe
1, 2, 3,...q-2 -
2
der ein Rest y" entspricht, muss sich daher eine Zahl k' derselben Reihe finden lassen durch die Formel
k, -l
- - - k,
und für diese erhalt man
k-c1 - l p — 1 2 -- p
I ---p 2 -1 + - kp,
also
k'p _ - r' (mod. q),
wenn 7r' 2 -q r gesetzt wird. Die Zahl r' aber ist ersichtlich grösser als p und kleiner als, gehört also, wie r,
zu den Zahlen y". Nun giebt es nur einen Fall, in welchem
r und r' dieselbe Zahl y" sein können, nämlicl dann, wenn
-r eine solche Zahl ist. Jenachdem dieser Fall
eintritt oder nicht, werden daher die Zahlen y" entweder nach Abzug der Zahl p+, bezw. von vornherein sich zu zweien verschiedenen r, r' zusammenordnen lassen, d.h. wird ihre Anzahl, welche c heisse;
ungerade oder gerade sein. Alles kommt darauf an, zu
entscheiden, wann dieser oder jener Fall stattfindet.
Soll nun aber 4 eine der Zahlen y" sein, so muss es
eine ganze Zahl h und eine andere positive ganze Zahl Ic < q
geben7,~ deLr Art, da2ss
geben, der Art, dass