Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 127
Eine zweite Kategorie von Beweisen wird durch Gauss'
zweiten Beweis charakterisirt; sie beruhen, wie z. B. die Beweise von Kummer*), ja wie schon die ersten Beweisversuche von Legendre**), auf Betrachtungen aus der Theorie
der quadratischen Formen, welche keineswegs zu den Elementen derselben gerechnet werden können.
Eine dritte, sehr zahlreiche Kategorie hat ihre eigentliche
Quelle in einem fernliegenden Gebiete, dessen gleichwohl
innigster Zusammenhang mit der höheren Arithmetik auch
zuerst von Gauss erkannt und dargestellt worden ist, in der
Lehre von der Kreistheilung; sie wird charakterisirt durch den
4ten und 6ten der Gaussischen Beweise.
Die vierte Kategorie endlich hat den 3ten oder 5ten der
Gaussischen Beweise, welche beide das Gaussische Lemma
zum Ausgangspunkte nehmen, zu ihrem Muster; alle diese
Beweise der letzten Kategorie zielen dahin, die Gaussische
Charakteristik auf möglichst einfache oder ursprüngliche Weise
zu bestimmen, bezw. die Charakteristiken, welche zweien reciproken Legendre'schen Symbolen entsprechen, mit einander zu vergleichen.
Da der erste Gaussische Beweis in Dedekind's Ausgabe von Dirichlets Vorlesungen***) eine ausführliche Darstellung gefunden hat, wollen wir hier darauf oder auf
Di rich e t' genannte Originalabhandlung verweisen. Desgleichen mag bezüglich der dritten Kategorie von Beweisen,
die sich nicht in den Rahmen dieses Werkes einfügen lassen,
auf des Verfassers: Lehre von der Kreistheilung und ihre
Beziehungen zur Zahlentheorie, Leipzig 1872, hingewiesen
werden. Auf die zweite Beweiskategorie gedenken wir am
Schlusse unseres Werkes noch einmal zurückzukommen. Hier
wollen wir für das Reciprocitätsgesetz einige Beweise beibringen, welche der vierten Kategorie angehören, also die
Gaussische Charakteristik zum Gegenstande haben.
*) Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze u. s. w.,
Einleitung; Abh. der Berl. Akad. 1861.
**) Essai sur la theorie des nombres, 2. 6d., pag. 198.
***) von ~ 48 bis ~ 51.