Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

126 Dritter Abschnitt
1797/98 stammenden und durch eine gänzliche Umarbeitung
in die Disqu. Arithm. übergegangenen Manuscripte entnommen
ist. Dieser Beweis, der nach der Reihe der Veröffentlichung
der siebente ist, ist eigentlich ein Doppelbeweis, und Gauss
selbst sagt von ihm: haec igitur est tertia theorematis fundamentalis completa demonstratio... At ex eodem fonte sed
via opposita quartam deducamus. Möglich ist aber auch,
dass, wie Kronecker annimmt*), jener andere in Art. 151
versprochene Beweis der sogenannte vierte der Gaussischen
Beweise, derjenige nimlich ist, welchen die Abhandlung
summatio quarundam serierum singularium, Bd. II, pag. 9,
vom August 1808, enthält; letzterer dürfte in der That
wenigstens, wenn auch später veröffentlicht als der dritte:
theorematis arithmetici demonstratio nova, Bd. II, pag. 1,
vom 15. Januar 1808, doch früher von Gauss aufgefunden
worden sein als dieser. Der fünfte Gaussische Beweis erschien 1817 gemeinsam mit dem sechsten in der Abhandlung:
theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis
demonstrationes et ampliationes novae (Bd. II, pag. 47).
Das Reciprocitätsgesetz übte aber seitdem auch auf viele
andere, darunter die ausgezeichnetsten Forscher, einen ganz
besonderen Reiz aus und veranlasste eine grosse Menge von
Beweisen, in denen sich die Bemühungen, immer neue Wege
der Ableitung und die einfachsten Ursprünge des Gesetzes zu
finden, wiederspiegeln, und welche so die mannigfachen Beziehungen des Gesetzes zu den verschiedensten Theilen der
höheren Arithmetik ans Licht gebracht haben. Eine möglichst vollständige Zusammenstellung der bekannt gewordenen
Beweise und ihre Gruppirung nach den zu Grunde liegenden
Gedanken ist von Oswald Baumgart (Schlömilch's Ztschr.
f. Math. 1885) gegeben worden. Es ist sehr beachtenswerth,
dass die verschiedenen Kategorieen, in welche sie sich vertheilen lassen, schon durch die Beweise von Gauss selbst
charakterisirt sind.
Der erste, von Dirichlet vereinfachte dieser Beweise
bildet im Grunde eine Kategorie ganz für sich allein.
*) a. a. O. p. 272.