Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 125
endlich viel Glieder vorkommen, die Primzahlen sind, erst
viel später durch eine höchst geniale Methode von Lejeune
Dirichlet bewiesen worden ist.
9. Gauss ist der erste gewesen, der einen vollständig
genügenden Beweis des Reciprocitätsgesetzes gegeben hat; er
findet sich Disquisitiones Arithmeticae von Art. 131 ab. Dieser
erste Gaussische Beweis ist auf geistvolle Weise durch Dirichlet, namentlich durch Verwendung des Legendre'schen
Symbols, wesentlich vereinfacht worden, solcherweise von ihm
in seinen Vorlesungen über Zahlentheorie vorgetragen und
daher auch in die Dedekind'sche Darstellung derselben aufgenommen worden.*) Derselbe hat vor allen Beweisen, welche
seitdem bekannt geworden sind, den Vorzug, dass er, am unmittelbarsten aus dem Probleme selbst geschöpft, ausschliesslich sich im Gebiete des zu beweisenden Satzes bewegt, nämlieh durch die einfachsten Folgerungen aus dem Begriffe eines
quadratischen Restes zu Stande kommt. Seine Methode ist
übrigens die der allgemeinen Induktion.
Aber, wie bereits angedeutet, dieser erste Beweis von
Gauss ist nicht der einzige Beweis des Satzes geblieben,
der einer der schönsten und wichtigsten der ganzen Zahlentheorie ist. Gauss selbst schon hat dem ersten noch sechs
weitere Beweise folgen lassen. Schon im Art. 151 der Disqu.
Arithm. verspricht Gauss: ceterum infra duas alias demonstrationes ejusdem gravissimi theorematis trademus a praecedente et inter se toto coelo diversas. Von diesen findet
man jedoch in den Disquisitiones, so wie sie veröffentlicht
worden sind, nur einen, nämlich in Art. 262, den man deshalb
den zweiten Gaussischen Beweis nennt. Wahrscheinlich ist
jener andere derjenige, welcher sich in Gauss' Nachlass (s.
in Bd. II seiner Werke pag. 234) in einem Fragmente vorgefunden hat, welches den Titel führt: Disquisitiones generales
de congruentiis: Analysis Residuorum caput octavum, und nach
Dedekind's Angabe einem umfangreichen, aus den Jahren
*) Dirichlet: über den ersten der von Gauss gegebenen Beweise
des Reciprocitätsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste, Crelle's
Journal Bd. 47.