Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

124 Dritter Abschnitt
abgedruckt ist im 1. Bande seiner commentationes arithmeticae
collectae, das Reciprocitätsgesetz seinem eigentlichen Wesen
nach in seinem ganzen Umfange ausgesprochen hat. Ja, er
hat sogar in einer weiteren Abhandlung, welche unter dem
Titel: observationes circa divisionem quadratorum per numeros
primos im 1. Band seiner opuscula analytica, also schon 1783,
veröffentlicht ist, das Reciprocitätsgesetz unter einer Form
ausgesprochen, welche der von Gauss im Art. 131 der Disqu.
arithm. gegebenen ausserordentlich ähnlich ist.*) Wunderbarer Weise hat Gauss offenbar diese Abhandlung nicht gekannt, und auch Legendre thut derselben nirgend Erwähnung, obwohl sich nachweisen lässt**), dass beide diesen
Band der opusc. analytica in Händen gehabt haben.
Das bisher Gesagte bezieht sich nun zunächst nur auf
die Aufstellung des Gesetzes. Fragt man jedoch nach
dem Beweise desselben, so ist zu antworten, dass der erste
strenge Beweis der von Gauss in den Disqu. Arithm. von
Art. 131 an (1801) gegebene, und dass die Kritik, welche
Gauss im Art. 151 an den bezüglichen Arbeiten seiner Vorgänger übt, vollkommen gerechtfertigt ist. Die Euler'schen
Arbeiten stellen die darin ausgesprochenen Sätze meist nur
mit Hilfe unbewiesener Induction auf und seine Versuche, zum
Beweis derselben zu gelangen, sind unzureichend. Legendre
andererseits kommt zwar das Verdienst zu, einen Theil des
Reciprocitätsgesetzes schon etwa 10 Jahre vor Gauss wirklich bewiesen zu haben, der Beweis aber des ganzen Gesetzes
ist ihm nicht gelungen; denn der Beweis, welcher in der oben
genannten Abhandlung versucht wird, wie auch die spätere
in seinem essai sur la theorie des nombres enthaltene Darstellung beruhen auf verschiedenen unbewiesenen Annahmen
(vgl. Gauss Disqu. Arithm. art. 296, 297) über das Vorhandensein gewisser Primzahlen, von welchen die eine, dass in jeder
unbegrenzten arithmetischen Progression, deren erstes Glied
und Differenz Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, un*) Vgl. zu diesem allen Kronecker, Bemerkungen zur Geschichte
des Reciprocitättsgesetzes, in Monatsber. d. Berliner Akad. 1875.
**) Kronecker a. ao 0. p. 270 u. 273.