Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 121
(mod. p) eine gerade oder ungerade Anzahl von negativen sich findet.
Den Exponenten g in der Formel (22) wollen wir mit
einer besonderen Benennung auszeichnen, indem wir ihn die
Gaussische Charakteristik heissen.
Unmittelbar erhalten wir hieraus die Antwort auf unsere
zweite, die Zahl 2 betreffende Frage. In der That, für n== 2
geht die Reihe der Vielfachen (19) in diese über:
2, 4, 6,... p- 1;
bestimmt man nun die Zahl i durch die Bedingung, dass
p1- 1 - 2i< <p 1-2i
sei, so werden die Zahlen
p + --- 2i, p + 3 - 2,...p --
jener Reihe diejenigen sämmtlichen Glieder derselben, welche
grösser als, deren absolut kleinste Reste (mod. p) demnach
negativ sind, ihre Anzahl aber beträgt i. Aus den bezüglichen Ungleichheiten ergiebt sich ferner, dass
<i-2 <
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d. h.
ist. Nun findet sich
füfi pr _ 8 + 1 7 +2 + 3 i 2
für p - 8k +, 4 = - - 2k
jg=8/k+3, 4+-t82 - k i =21+1
4 4. i-8A+~ ~5, 4 -b isk+l,,p=8 +7, L +2 8_ S — 9 2, +2
k p + 7, iP + + 2 --- 2 + 1;
4 4
mithin ist i gerade im ersten und letzten, ungerade in den
beiden mittleren Fällen. Nach dem Gaussischen Lemma
aber ist
(23) quadratischer es on jeder Primund demnach ist 2 quadratischer Rest von jeder Prim