Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

120 Dritter Abschnitt
Es wird nun behauptet, dass die Zahlen a und P zusammengenommen die ganze Reihe der Zahlen (20) erschöpfen.
Denn, da die Zahlen (19) (mod.p) incongruent sind, können
erstlich weder zwei der Zahlen ß unter sich, noch auch zwei
der Zahlen a unter sich gleich sein; doch kann auch zweitens
keine Zahl P einer Zahl a gleich sein, etwa ß, — 2; denn,
nennt man hn und kn die Produkte der Reihe (19), welche
resp. die Reste ß3 und - a lassen, so würde aus der angenommenen Gleichheit die Congruenz folgen:
(h -+ k)n - 0 (mod. p),
in welcher doch keiner der Faktoren des Produkts durch p
theilbar ist, auch der erste nicht, da A und k kleiner als p2
sind. Die Behauptung ist hiermit erwiesen: c, ß zusammengenommen sind 2-1 verschiedene Zahlen der Reihe (20).
Nachdem dies feststeht, bilden wir das Produkt der Zahlen
(19) und untersuchen seinen Rest (mod. p). Dies giebt uns
zunächst die Congruenz:
P-1
2. 1.2.3~) ~. p 1.ß 2 o I 2 * 3.. * p -(- l)". a,.. a2 ~.t ß,,. ß,
(mod. p)
und nach dem eben Bewiesenen und da der gemeinsame Faktor
1.2. 3..p- beider Seiten, weil relativ prim gegen den
Modulus p, weggelassen werden darf, die folgende einfachere:
(21)
(21) fn 2 - (- 1) (mod.p).
Vergleichen wir sie mit derjenigen, welche das Euler'sche
Criterium ausspricht, so gewinnt man, ähnlich wie bei jener,
die folgende Gleichung:
(22) ()-.
Das heisst: n ist quadratischer Rest oder Nichtrest
von p, jenachdem unter den absolut kleinsten Resten
der Produkte
- n, 2. n 3-n,. 2 - --