Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 117
drei abgeleiteten Congruenzen einsetzen. Es ist klar, dass
immer je zwei solche Combinationen, deren drei Elemente sich
nur im Vorzeichen unterscheiden, Werthe von x ergeben werden,
die einander entgegengesetzt sind, oder auch, was (mod. 1872)
dasselbe ist, Werthe, die sich zu 1872 ergänzen. Man findet
daher, entsprechend
den Combinationen: die Wurzeln:
a [ß y x und -x
5 1 6 1189 683
5 1 -- 6 1333 539
5 1 6 773 1099
5 -1 -6 917 955
13 1 6 253 1619
13 1 6 397 1475
13 -1 6 1709 163
13 -1 — 6 1853 19.
6. Hiermit haben wir die erste der beiden in No. 1 gestellten Fragen vollständig beantwortet, die Frage: wenn der
Modulus rn gegeben ist, welche zu m primen Zahlen sind seine
quadratischen Reste, welches seine Nichtreste? Ungleich
schwieriger ist es gewesen, die zweite Frage zu erledigen: in
Bezug auf welche Moduln m ist eine gegebene Zahl
n quadratischer Rest resp. Nichtrest? Doch ist es den
Bemühungen der Forscher allmählich gelungen, die ursprünglich zu ihrer Beantwortung versuchten Methoden wesentlich
zu vereinfachen, und so können wir denn jetzt auch die auf
diesen Theil unserer Untersuchung bezüglichen Sätze ohne
grosse Schwierigkeit auseinandersetzen.
Zunächst können wir bemerken, dass nach den vorigen
Nummern die Frage, ob n in Bezug auf einen zusammengesetzten Modulus m quadratischer Rest oder Nichtrest ist,
durchaus auf die Aufsuchung des quadratischen Charakters
von n bezüglich der einzelnen in m enthaltenen Primfaktoren
zurückkommt; und da dieser Charakter bezüglieh der Zwei
und ihrer Potenzen stets nach der Form von n, ob es die
Form 4k + - resp. die Form 8k + 1 hat oder nicht hat,
leicht entschieden werden kann, steht offenbar nur noch zu