Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

116 Dritter Abschnitt
Der Modulus, in Primzahlfaktoren zerlegt, ist
1872 = — 16 9 13.
Die abgeleiteten Congruenzen (15) sind demnach:
x2 - 361 (mod. 16), x2 - 361 (mod. 9), x2 = 361 (mod. 13).
Die erstere ist möglich, denn 361 - 1 (mod. 8); als ihre
Wurzeln ergeben sich, dem oben Gesagten folgend, leicht
folgende vier:
x 5, -5, 13, - 13 (mod. 16).
Die zweite Congruenz ist möglich, weil
(361) ) -+1
ist, denn 1 ist selbstverständlich stets ein quadratischer Rest,
da es selbst als Quadrat angesehen werden kann. Durch Anwendung der unter 1) vor. Nummer mitgetheilten Betrachtungen finden sich ihre beiden Wurzeln, nämlich
x = - 1 (mod. 9).
Die dritte Congruenz ist auch möglich, da
(361 ) = + 1
\13/ \ —13/
ist nach der Congruenz 62 _ 10 (mod. 13); ihre beiden Wurzeln sind
x = 6 (mod. 13).
Soll nunmehr eine Zahl gefunden werden, die den Congruenzbedingungen
x a (mod. 16), x -p (mod. 9), x y (mod. 13)
gleichzeitig genügt, so muss man nach (9) vor. Abschn. zuerst
gewisse, dort mit r, s, t bezeichnete Hilfszahlen ermitteln;
hier erhalten sie folgende Werthe:
r = 1521, s =208, t= 144.
Die vollständige Lösung vorstehender Congruenzforderungen
giebt dann die Formel:
x - 1521a + 208S + 144y (mod. 1872).
Um aber die sämntlichen Wurzeln der gegebenen Congruenz
(17) zu finden, muss man hierin für a, ß, y alle Wurzeln der