Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 115
9 - 1 (mod. 8)
erfüllt, die Congruenz also lösbar. Um sie zu lösen, bemerke
man die beiden offenbaren Lösungen x _+3; nach 2) vor.
Nummer sind dann die vier Wurzeln:
x +3, x + 3 + 16 (mod. 32),
z. B. also
x= 13.
2) Die Congruenz
x2 19 (mod. 4913),
deren Modulus 4913 = 173 eine ungerade Primzahlpotenz ist,
ist möglich, weil
/19\ ()
(7) = + 1
nämlich die Congruenz x2 2 (mod. 17) lösbar ist, denn
offenbar ist x =6 eine Lösung. Hieraus findet sich, in Anwendung der Betrachtungen unter 1) vor. Nummer, eine
Lösung der Congruenz
x=19 (mod. 172),
wenn man x = 6 +- 17y setzt und y so bestimmt, dass diese
Congruenz erfüllt ist, was geschieht, wenn
1 + 12y - 0 (mod. 17)
wird, z. B. also für y = 7; daher ist x = 125 eine Lösung
der voraufgehenden Congruenz. Um nun die gegebene zu
lösen, setze man
x = 125 + 172 * y;
sie wird dann erfüllt, sobald man y der Congruenz
54 + 250y - 0
oder einfacher
1 + 4y - 0 (mod. 17)
gemäss wählt, also z. B. y = 4. So erhält man x = 1281,
also die beiden Wurzeln:
x - + 1281 (mod. 4913).
3) Sei endlich zu lösen die Congruenz:
(17) x2 -361 (mod. 1872).
8*