Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

114 Dritter Abschnitt
x =- (mod. m)
eine Wurzel der Congruenz (3). In der That, da
- = ß (mod. 2v), t - a (mod. ps), =- a' (mod. p'"l')
u. s. w. sein soll, so ist offenbar - - n durch jeden der Moduln, also auch durch m selbst theilbar, d. h. x -- (mod. m)
stellt eine Wurzel der Congruenz (3) vor. - Denkt man sich
ferner für i, a,,... sämmtliche Wurzeln der abgeleiteten
Congruenzen (15) successive gesetzt, so entsprechen, wie
früher gezeigt, diesen verschiedenen Combinationen incongruente
Zahlen t (mod. m), und folglich hat die Congruenz (3) soviel
Wurzeln, als solche Combinationen gebildet werden können.
Aus dieser Betrachtung folgen, wenn die möglichen Fälle unterschieden werden, nachstehende
Sätze, bei welchen stets n als relative Primzahl zum Modulus
m vorauszusetzen ist:
Ist rn ungerade oder das Doppelte einer ungeraden Zahl,
so sind für das Bestehen der Congruenz (3) folgende Bedingungen nothwendig:
(16) (p) -=+ ( + )=+.
Sind sie erfüllt, so hat die Congruenz 2k Wurzeln, wenn k die
Anzahl der verschiedenen ungeraden Primfaktoren bezeichnet,
aus denen m besteht.
Ist m das Vierfache einer ungeraden Zahl, so ist ausser
den Bedingungen (16) noch die folgende nothwendig:
n - 1 (mod. 4);
und wenn sie erfüllt sind, so hat die Congruenz (3) 2k+1
Wurzeln.
Ist m durch 8 theilbar, so ist die Bedingung
n - 1 (mod. 8)
ausser den Bedingungen (16) zu erfüllen; und wenn sie erfüllt
sind, so hat die Congruenz (3) genau 2k+2 Wurzeln.
5. Zur Erläuterung betrachten wir ein paar Beispiele.
1) Handelt es sich zuerst um die Congruenz
2 9 (mod. 32),
so ist die erforderliche Bedingung