Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 113
n_ 1 (mod. 2) ist, und wird in diesem Falle durch alle ungeraden Zahlen x erfüllt, welche eine Wurzel darstellen.
Die Congruenz
(14) x2 - n (mod. 4)
dagegen erfordert, dass die ungerade Zahl n - i sei (mod. 4),
da jede ungerade Zahl x = 2k + 1 ein Quadrat
x=42 + 4k + 41 + 1 - 1 (mod. 4)
ergiebt. Ist diese nothwendige Bedingung erfüllt, so hat die
Congruenz die zwei Wurzeln:
x -, x - 3 (mod. 4).
Also: Zur Möglichkeit der Congruenz (14) ist die Bedingung n - 1 (mod. 4) nothwendig und hinreichend.
Ist diese Bedingung erfüllt, so hat sie zwei Wurzeln
4. Die vorigen besondern Ergebnisse setzen uns nun in
den Stand, über die Möglichkeit der Congruenz (3) für jeden
Modulus m zu entscheiden und im Falle der Möglichkeit die
Anzahl ihrer Wurzeln zu bestimmen. Sei m, in Primfaktoren
zerlegt,
m 2v * pL. pt' p t" ". o
Hierin würde v = 0 zu setzen sein, wenn m eine ungerade
Zahl ist. Soll nun die Congruenz (3) eine Lösung x haben,
also x2 - n durch m theilbar sein, so muss es auch durch
jede der Primzahlpotenzen, aus denen m besteht, theilbar sein;
die Congruenz (3) setzt demnach die Möglichkeit der
folgenden voraus:
(15) x2-n (mood. 2"), x2i (mod.pt), x2n (mod.p"'')
u. s. w., von welchen die erste, wenn m ungerade ist, als nicht
in Betracht kommend, wegzulassen ist. Gesetzt umgekehrt,
diese Congruenzen wären erfüllt, und
x = —ß (mod. 2"), x —a (mod.Vpo), x- a' (mod.p,',t')
u. s. w. wären je eine Wurzel einer jeden, so lässt sich, wie
früher (No. 9 vor. Abschn.) gezeigt worden ist, eine Zahl ~
bestimmen, welche allen diesen Restbestimmungen gleichzeitig
genügt, und diese giebt dann durch eine Congruenz von der
Form
B a c lh an, ]Die Elemente der Zahlentheorie. 8