Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den quadratischen Resten. 111
theilbar ist; unmöglich sind also beide Faktoren theilbar
durch p, und folglich muss einer von ihnen,
entweder x - a oder x + a,
durch py theilbar, d. h.
entweder x- ac oder x - a (mod. p)
sein. Die Congruenz (10) kann demnach nur diese zwei
Wurzeln haben, hat sie aber auch wirklich, die Wurzel a nach
der Voraussetzung, und - a deshalb offenbar auch.
2) Ferner untersuchen wir die Congruenz
(11) 2 _ n (mod. 2v).
Hier wäre n relativ prim zu 2, d. h. als ungerade vorauszusetzen, und daher werden die etwaigen Lösungen gleichfalls
ungerade sein. Ist nun a eine solche, also
a2 n (mod. 2")
a2 n h. 2v
so folgt, wenn x - a + 21-1 y gesetzt wird,
x2 -n = a2 _- n + 2". ay + 22 -2. y2.
Sobald also v > 3 ist, wo dann 2v - 2 > v - 1 sein wird,
lässt sich vorstehende Gleichung als Congruenz folgenderrassen schreiben:
x2 - n - 2" (h + Ay) (mod. 2"+1)
und folglich wird
x2 - n 0 (mod. 2v+),
sobald y durch die offenbar auflösbare Congruenz ersten
Grades h + a-y - 0 (mod. 2) bestimmt wird. Da andererseits
die Congruenz (11), sobald v>3 ist, sogleich auch die andere:
(12) x2 - n (mod. 8)
erfordert, gewinnt man hieraus den Satz: Zur Möglichkeit
der Congruenz (11) ist, wenn v> 3 ist, nothwendig
und hinreichend, dass die Congruenz (12) besteht.
Diese aber erfordert, dass n 1 (mod. 8) ist; denn jede ungerade Zahl x hat eine der Formen 4k + 1 oder 4k - 1, und
ihre Quadrate 16k2 + 8k + 1 resp. 16k2 - 87 + 1 geben,
durch 8 getheilt, den Rest 1.