Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Yon den quadratischen Resten. 109
Aus dem Euler'schen Criterium ergiebt sich ferner ersichtlicherweise sogleich der Satz: Das Produkt zweier
quadratischen Reste oder zweier Nichtreste ist ein
quadratischer Rest, das Produkt aber aus einem quadratischen Rest in einen Nichtrest ist ein quadratischer Nichtrest. Und allgemeiner: Das Produkt mehrerer Zahlen ist ein quadratischer Rest oder Nichtrest, jenachdem unter den Faktoren sich eine gerade
oder ungerade Anzahl quadratischer Nichtreste befindet.
Zur Bezeichnung des quadratischen Charakters einer Zahl
n bezüglich einer ungeraden Primzahl p ist von Legendre
ein sehr bequemes Zeichen, das jetzt sogenannte Legendresche Symbol, eingeführt worden. Nach ihm bezeichnet (-)
die positive oder negative Einheit, jenachdem n quadratischer
Rest oder Nichtrest von p ist. Also:
() = -+ 1 heisst: n ist quadr. Rest von p
(i -) = 1- heisst: n ist quadr. Nichtrest von p.
Man hat demnach dem Euler'schen Criterium gemäss für
jede durch p nicht theilbare Zahl n die Congruenz:
~(7)~P(7) 2 -(n) (mod. p).
Ferner, da Zahlen derselben Restclasse (mod. p) auch denselben quadratischen Charakter haben, wird
(8) () = (-i ), so oft n - n' (mod.p).
Endlich lässt sich der aus dem Euler'schen Criterium gewonnene Satz offenbar durch folgende Gleichung mittels des
Legendre'schen Symbols aussprechen:
(9) ('" ) () ) ( )
in welcher jede der Zahlen en, n', n,... durch,) nicht theibar vorauszusetzen ist.
3. Wir untersuchen nunmehr die Möglichkeit der Congruenz (3) im Falle eines zusammengesetzten Modulus m.