Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

108 Dritter Abschnitt
Im ersteren der beiden unterschiedenen Fälle befindet man
sich offenbar, wenn n = 1 ist. Dies giebt uns also nach der
ersteren Congruenz sogleich den schon auf andere Weise gefundenen Wilson'schen Satz wieder:
1.2.3...(p - 1) - - 1 (mod. p).
Mit Hilfe desselben aber lässt sich das gewonnene Resultat auch einfach folgendermassen fassen: Jenachdem n
quadratischer Rest ist (mod. p) oder quadratischer
Nichtrest, findet die Congruenz
-1 291
(6) n 2 + 1 oder n 2 _- (mod.p)
statt. Dieser Satz, welcher ein leichtes Criterium darbietet,
um über den quadratischen Charakter einer Zahl (mod.p) zu
entscheiden, ist von Euler gefunden*) und führt darnach den
Namen Euler'sches Criterium.
Mit Leichtigkeit erhält man hieraus einen neuen
Beweis des Fermat'schen Lehrsatzes. Denn, da eine
Zahl n, welche durch 2 nicht theilbar ist, nothwendig entweder quadratischer Rest oder Nichtrest ist und also entweder der ersten oder der zweiten der Congruenzen (6) genügt,
aus deren jeder durch Quadrirung die andere:
P-1 ~- + 1 (mod. p)
hervorgeht, so ist eben diese für jede durch p nicht theilbare Zahl n erfüllt.
*) Dedekind (Vorlesungen pag. 77) verweist, mit der Bemerkung,
dass er in Euler's Arbeiten keine Stelle gefunden, in welcher das
Criterium in voller Schärfe ausgesprochen sei, auf die Abhandlung
theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta, Nov. Comm.
Petrop. VII p. 49, deren theorema 17 coroll. 3 in der That sich auf das
Criterium bezieht; aber in einer anderen Abhandlung de quibusdam eximiis proprietatibus circa divisores potestatum occurrentibus, in opusc
analyt. I 242. 268 oder im 2. Bande der commentationes arithmeticae
collectae, enthält das problema ~ 36 das Criterium in seinem vollen
Ausdruck. Indem Euler eine Primzahl 2p + 1 als Modulus betrachtet,
sagt er: Quo facto si numerus a inter residua reperiatur, tum semper
formula ta3 - 1 erit divisibilis; sin autem numerus a inter non-residua
occurrat, tun altera formula a1 + 1 divisibilis erit. Der Beweis ist
nicht ganz vollständig.