Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

102 Zweiter Abschnitt
1, 5, 52,... -21
(mnod. 2/) ineongruent sein, desgleichen auch die Potenzen
-- 1, _-5 5.2 5.k-2-1;
da die ersteren säimtlich von der Form 4h + 1, die letztern
von der Form 4h + 3 sind, kann auch eine der ersteren nicht
einer der letztern congruent sein (mod. 2k), denn sie sind es
nicht einmal (mod. 4). Demnach bilden sie zusammeengommen
2k-1 ungerade, unter einander incongruente Zahlen (mod. 2k),
d. i. ein vollständiges reducirtes Restsystem. Wenn daher z
irgend eine ungerade Zahl bedeutet, wird nothwendig
(61) ~- + 52 (mod. 2k)
sein, wenn sowohl das Vorzeichen, als anch die Zahl A der
Reihe 0, 1, 2,... 217-2- 1 passend gewählt wird. Die
Zahl 5 spielt also hier in gewissem Sinne die Rolle
einer primitiven Wurzel, oder besser gesagt: das Vorzeichen und der Exponent A zusammen eine ähnliche
Rolle, wie die Indices im Falle eines Modulus p oderp/.
21. Sei endlich der Modulus n ganz beliebig; wir können
dann setzen
n = 2. I*
wo
N = pK,.p, 2
wenn es nicht gleich 1 ist, nur aus ungeraden Prinfaktoren
zusammengesetzt ist. Unter z verstehen wir irgend eine zu n
relativ prime Zahl.
Ist nun 1) k= 0, also n = N und
(n) (=v~ (iN -1). a -1 ( 1)... p
so kann man, indem man mit 9g, g2,... primitive Wurzeln
für die Moduln p, 2,.. resp. bezeichnet, setzen:
(62) z --- (moid. p 1), = g (mod.,p..2).
Ist 2) k = 1, n =2N, (p(n) =- P,
so hat man neben den voraufgehenden Congruenzen noch die
Congruenz (59).
Ist 3) k = 2, n = 4N, p(n) = 2P,