Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 101
Ist dagegen n = 2k, k> 3, so giebt es keine primitive
Wurzeln, d. i. keine zum Exponenteen cp(n) = 2k-1 gehörige
Zahlen. Denn jede ungerade Zahl
z=1 +2y
giebt
1 + 4y + 4y2 = 1 + 4y (y + l)
und folglich schon
z2 1 (mod. 8);
hieraus folgt weiter, wenn man die Congruenz als Gleichung
schreibt und quadrirt:
= (1 + 8y')2- 1 (mod. 16)
ähnlich
= (1 + 16y")2 - 1 (mod. 32)
u. s. w., allgemein
2^-2 _ 1 (mod. 2),
keine ungerade Zahl also wird erst zur Potenz 2k-1 erhoben
congruent 1.
Hier ist nun sehr bemerkenswerth, dass es Zahlen giebt,
die wenigstens zum Exponenten - (n) 2k-2 gehören. Eine
solche Zahl ist z. B. 5; denn man findet
51 1 + 4 (mod. 8)
52 1 + 8 (mod. 16)
54 1 + 16 (mod. 32)
u. s. f., allgemein
5~k-3 1 + 2- 1 (mod. 2k);
da aber stets
52k-2 - 1
ist, kann der Exponent, zu welchem 5 gehört, nur ein Theiler
von 21-2, und müsste also, wenn er nicht gleich 2k-2 ist, in
2C-3 enthalten, folglich schon
52-3 -- 1
sein, gegen das zuvor Gefundene.
Demzufolge werden jedenfalls die Potenzen