Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

100 Zweiter Abschnitt
oder
odr2 7pa-3 ( p-2 ) (lmod. p),7
d. i. P2 wäre einer der Potenzen von Q1 congruent, was der
Bedeutung von P2 als eines zweiten fundamentalen Elementes der Gruppe zuwider ist.
Aus alle diesem ist zu erschliessen, dass nicht
m =- pa-2 * (i -- 1)
sein kann. Und somit ist bewiesen: Unter der Voraussetzung, dass (mod. pa-l) eine primitive Wurzel vorhanden ist, giebt es auch eine primitive Wurzel
(mod. pa). Da das Vorhandensein einer solchen (mod. p) aber
schon in No. 17 bewiesen ist, leuchtet nunmehr ein, dass
auch für jede Potenz einer ungeraden Primzahl p als
Modulus primitive Wurzeln vorhanden sind. Ist g
eine primitive Wurzel (mod. p), so giebt es fir jede durch
p nicht theilbare Zahl z eine Zahl,u <- g(p), für welche
z - gt (mod. p~),
und diese Zahl kann wieder der Index von z, in Zeichen:.d = ind. z genannt werden.
2) Da die Betrachtungen über die Congruenz (56) ihre
Geltung verlieren, wenn p statt einer ungeraden Primzahl die
Zwei bedeutet, lasst sich in gleicher Weise die Existenz primitiver Wurzeln (mod. 2k) nicht erweisen, und in der That
giebt es dann solche im allgemeinen auch nicht.
Zwar darf man,
wenn n = 2, also p(n) = 1 ist, jede ungerade Zahl s
nach der Congruenz
(59) z- 1 (mod. 2)
als eine primitive Wurzel, d. i. als eine zum Exponenten
gp(n) gehörige Zahl (mod. 2) ansehen;
desgleichen, wenn n = 4, also gp(n) - 2 ist, ist fir jede
ungerade Zahl z
(60) - + 1 (mod. 4),
und demnach darf - 1 als eine primitive Wurzel (mod. 4)
angesehen werden, d. i. als eine Zahl, fir welche erst die
gp(ni)t Potenz congruent 1 wird.