Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 99
x- 1 +-p
ist. Hieraus folgt mittels des binomischen Satzes sofort
x' - 1 -+P2 (mod. p3),
also muss s, damit die Congruenz (57) (mod. p3) stattfinden
kann, durch p theilbar, also
x= 1 - p2. '
sein. Nunmehr folgt
XP 1 p3 ' (mod. p4)
und demnach wieder z' theilbar durch p und
x = 1 + p3
u. s. f., endlich
x === li jp-1.
Dies ist die nothwendige Form aller Lösungen der Congruenz
(56), zugleich aber auch die genügende, wie die Erhebung zur
pten Potenz sogleich erweist. Die Formel stellt aber offenbar
(mod. pa) folgende p Wurzeln dar:
1, 1 +- — p, 1 + 2pa-,. i + (p - 1)pc-1
Da die Zahl ps zum Exponenten p gehören soll, kann nicht
schon O2 selbst der Einheit (mod. p") congruent sein, und somit ist o2 nothwendig einer der Zahlen
(58) 1 + pa-1 1 + 2pa-l,... 1 + (p - )pa-1
(mod. pa) congruent.
Andererseits wird, weil 91 zum Exponenten m1 =-pa~-2. (p- )
gehört, die Zahl
pa-3.(p-1)
eine solche sein, für welche Q'p aber keine kleinere Potenz
(mod.pa) der Einheit congruent wird; ihre Potenzen
~ ~2 ~3 p -
werden unter einander (mod. pa) incongruente Lösungen, d. i.
p 1 Wurzeln der Congruenz (56) sein, und da sie der Einheit nicht congruent sind, nothwendig den Zahlen (58) con~
gruent sein müssen. Demnach findet sich auch für ein h aus
der Reihe 1, 2, 3,... p — 1
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