Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

98 Zweiter Abschnitt
gm - 1 (mod. pa-l)
und folglich, wie sogleich einzusehen, mn theilbar sein durch
pa-2. (p- 1). Da aber nach dem allgemeinen Gruppensatze
m1 in m = pa-1 (p - 1) aufgeht, muss einer der beiden
folgenden Fälle stattfinden:
entweder ist m1 = pa-1. (p - ).
In diesem Falle giebt es also unter den Restclassen (mod.pa)
wenigstens eine, P1, welche zum Exponenten pa -1 (p -l)
gehört, oder, indem wir ihren Repräsentanten mit Q1 bezeichnen, gQ ist eine primitive Wurzel (mod.pa);
oder es ist m1 =pa-2. (p _ 1).
Dann folgt aus der Formel
m = m1 *m i2 * mc
des allgemeinen Gruppensatzes, in welcher jeder Faktor im
nächst vorhergehenden aufgeht, dass dieser Fall sich nicht
ereignen kann, wenn a =2 ist, weil sie dann n, =p -1,
m2 =p ergeben würde, wo m1 nicht durch m2 aufginge.
Im Falle a > 3 aber ergiebt sich gleichfalls
= p.
Demnach gäbe es zwei fundamentale Restclassen der Gruppe,
P1, P2, welche resp. zu den Exponenten m = pa-2. (p - 1)
und mn2 = p gehörten, sodass, wenn Q_, P2 ihre Repräsentanten
sind, die Congruenzen stattfänden:
a —2-.(P-1) 1, 1 = 1 (mod.S p).
Die Wurzeln der Congruenz
(56) xp -1 (mod. p")
sind aber leicht angebbar. In der That, ist x eine
Lösung derselben, so muss auch
(57) XP 1
sein nach jedem Modulus, der eine kleinere Potenz von p ist,
zuletzt also auch
xP - 1 (mod. p),
was wegen des Fermat'schen Satzes nur möglich ist, wenn
x _ 1 (mood.p) oder