Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 97
Besonders prägnant wird das Beispiel, wenn g = 10 gewählt wird. In diesem Falle ist
106 -- 1 999999 -- 7 142857
und die Darstellung (55) wird zur Darstellung im gewöhnlichen Ziffernsysteme; die successiven Vielfachen von Q sind
in diesem Falle
1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2
und zeigen die eyklischen Vertauschungen auf das deutlichste.
20. Kehren wir nun noch einmal zu No. 17 zurück, indem wir unter n jetzt nicht mehr eine ungerade Primzahl,
sondern einen beliebigen Modulus verstehen wollen; wir wollen
die Frage untersuchen, ob es für jeden solchen Modulus eine
primitive Wurzel, d. i. eine Zahl giebt, welche (rood. n) zum
Exponenten g (n) gehört.
1) Wir beginnen mit dem Falle, dass n — pa nämlieh die Potenz einer ungeraden Primzahl p ist. Die
Anwendung des allgemeinen Grupplensatzes auf die Gruppe
aller zu pa relativ primen Restelassen, für welche m den Werth
I. _P - da-t" (p - 1)
hat, führt dann genau-wie in No. 17 zu einer Congruenz
"2~ -- 1 (mod. pa),
welche für jede durch p nicht theilbare Zahl 9, augenscheinlich aber auch nur fülr solche, erfüillt sein muss. Aus ihr
folgt fiir dieselben Zahlen 9 umsomehr die folgende'
9gn- - 1 (mrod.- ia).
Nehimen wir nun das Vorhandensein primitiver Wurzeln
fiür den Modulus pl-1 an, d. h. setzen wir voraus, es gebe
eine Zahl 9 g, welche zum Exponenten 9)(p() — 2) = - (s.(- 1)
gehört, so müsste dem vorigen gemäss
Bacehmannn, Die Eleniente der Zahlentheorie. 7
142857
285714
428571
571428
714285
und zeigen die cyklischen Vertauschungen auf das dentlichste.
20. Kehren wir nun noch einmal zu No. 17 zurück, indem wir unter n jetzt nicht mehr eine ungerade Primzahl,
sondern einen beliebigen Modulus verstehen wollen; wir wollen
die Frage untersuchen, ob es für jeden solchen Modulus eine
primitive Wurzel, d. i. eine Zahl giebt, welche (mod. n) zum
Exponenten qp (n) gehört.
1) Wir beginnen mit dem Falle, dass n -=pa, nämlich die Potenz einer ungeraden Primzahl p ist. Die
Anwendung des allgemeinen Gruppensatzes auf die Gruppe
aller zu pa relativ primen Restclassen, für welche 'm den Werth
m = R0 —1. (P - 1)
hat, führt dann genau wie in No. 17 zu einer Congruenz
welche für jede durch p nicht theilbare Zahl g, augenscheinlich aber auch nur für solche, erfüllt sein muss. Aus ihr
folgt für dieselben Zahlen ( umsomehr die folgende:
__ l(mod. l-1).
Nehmen wir nun das Vorhandensein primitiver Wurzeln
für den Modulus pa"l an, d. h. setzen wir voraus, es gebe
eine Zahl q = g, welche zum Exponenten p (pal~) =pa-s. (p -1)
gehört, so müsste dem vorigen gemäss
B5achmanii, Die Elemente der Zahlentheorie. 7