Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 93
Dieselbe in diesem Satze sich zeigende Analogie mit der
Logarithmenrechnung bietet sich dar, wenn man von einer
bestimmten primitiven Wurzel zu einer andern übergeht und
die Indices vergleicht, welche einer gegebenen Zahl in beiden
Fällen entsprechen. Sei y eine zweite, mit g incongruente
primitive Wurzel (mod. p) und
=- ind. m, v ind.y m,
d.h.
(50) m g, in y (mod. p).
Der Zahl y kommt, da sie durch p nicht theilbar ist, auch
ein Index bezüglich auf die primitive Wurzel g zu, welcher c
heisse, sodass
c = ind.g y, r i g~ (mod. p).
Hiernach wird die zweite der Congruenzen (50) die Form annehmen:
m - g (mod. p),
welche, mit der ersten derselben verglichen,
cv - _ (mod. p - 1)
oder
ind.g m - ind.7 mn ind. y7 (mod. p - 1)
ergiebt, in Worten: Multiplicirt man das System der
Indices aller Zahlen für die Basis y mit dem Index
dieser Basis bezüglich auf die primitive Wurzel g, so
erhält man das System der Indices für die Basis g
oder vielmehr Zahlen, welche ihnen resp. (mod.p - 1)
congruent sind.
Nehmen wir beispielsweise p - 7, so ist g = 10 sowohl,
als y -5 eine primitive Wurzel. Den Resten
m= l, 2, 3, 4, 5, 6
entsprechen die Indices
(51) ind.1o m= -0, 2, 1, 4, 5, 3
(52) ind.5n m= 0, 4, 5, 2, 1, 3.
Zur Bestätigung des ersten Satzes suchen wir
ind.0 3 = 1, ind. 19 == ind.1 5*) = 5
*) Congruente Zahlen (mod. p) haben der Definition zufolge gleiche
Indices.