Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 91
tenzen (49) (mod. p) congruent sein - von ihrer Reihenfolge
abgesehen -, wenn h relativ prim ist zu p - 1. In diesem
einzigen Falle sind sie folglich (mod. p) unter einander incongruent, in diesem einzigen Falle wird daher gy erst, zur
p - It"n Potenz erhoben, der Einheit (mod. p) congruent oder
eine primitive Wurzel von p sein. Diese Betrachtung liefert
demnach folgenden Satz: Die Anzahl der Potenzen (49),
d. i. der Glieder eines reducirten Restsystems, welche
zum Exponenten p - 1 gehören, kürzer: die Anzahl
der incongruenten, primitiven Wurzeln (mod. p) ist
gleich (p(- 1).
18. Weil die Potenzen (49) einer primitiven Wurzel g
ein reducirtes Restsystem (mod. p) bilden, so muss jede durch
p nicht theilbare Zahl mn einer ganz bestimmten Potenz (49)
(mod. p) congruent sein. Oder: es giebt eine bestimmte Zahl
K in der Reihe 0,, 2,.. p - 2, von der Art, dass
m -- g (mod. p)
ist. Diese Zahl 1, pflegt man den Index von ma zu
nennen. Zur vollständigen Definition desselben gehört freilich im allgemeinen noch die Angabe der primitiven Wurzel
g, welche der Betrachtung zu Grunde gelegt wird; denn je
nach der Wahl der letztern kann offenbar und wird im allgemeinen auch der Index von m ein verschiedener sein. Daher
fügt man, wenn nöthig, der Bezeichnung auch die zur Basis
dienende primitive Wurzel g hinzu und schreibt, =- ind., m.
Wo jedoch kein Irrthum zu besorgen, schreibt man grösserer
Einfachheit wegen auch nur
/ = d ind. m.
Offenbar ist die Beziehung einer Zahl im zu ihrem Index,t ganz ähnlich derjenigen, welche zwischen einer Zahl n und
ihrem Logarithmus v besteht und welche bekanntlich durch
die Gleichung
ausgedrückt wird, unter c die sogenannte Basis des Logarithmensystems verstanden. Dieser Analogie entsprechen denn auch