Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

90 Zweiter Abschnitt
Nachdem erst das Vorhandensein einer solchen primitiven Wurzel festgestellt ist, lässt sich sehr leicht die Anzahl
aller (mod. p) nicht congruenten, also zu verschiedenen Restclassen gehörigen primitiven Wurzeln angeben. Dehn, nennt
man irgend eine derselben g, so müssen die Potenzen
(49) 1, g2, 3,...-2
(mod. p) unter einander incongruent sein, da aus einer Congruenz
gh - gy (mod. p),
in welcher h, k zwei verschiedene der Exponenten 0, 1, 2,... p- 2 bezeichnen, unter denen hz der kleinere sei, sogleich
die andere:
g-kh 1 (mIod. p)
folgen würde, die der Voraussetzung widerspricht, da k- h
sicher kleiner als p - 1 sein würde. Hieraus folgt zunächst:
Ist g eine primitive Wurzel (mod. p), so stellen die
Potenzen (49) ein vollständiges reducirtes Restsystem
nach diesem Modulus dar.
Betrachtet man nun ferner statt der endlichen Reihe
von Potenzen (49) die unbegrenzte Reihe aller aufeinanderfolgenden Potenzen von g:
1, g g 2 gp-2, gP-'1 gp yp+1
so leuchtet ein, dass diese, (mod. p) aufgefasst, periodisch den
Zahlen (49) congruent werden müssen. Schreibt man die
letztern daher auf die Ecken eines regelmässigen Kreispolygons
von p - 1 Ecken, und denkt sich die unbegrenzte Reihe von
Potenzen gewissermassen auf die Ecken dieses Polygons aufgewickelt, so fällt jede Potenz auf diejenige Ecke, welche von
der ihr congruenten Potenz der Reihe (49) eingenommen wird.
Indem man aber von der Ecke 1 aus immer um hz Stellen
weitergeht, so wird man, wie in No. 2 des 1. Abschnitts gezeigt worden ist, so oft h relativ prim ist zu p- 1, aber auch
nur dann zum Ausgangspunkte erst zurückkommen, nachdem
alle andern Ecken berührt worden sind; d. h. die Potenzen
l, gh 92 g f. (. -2) h
werden dann, aber auch nur dann mit den sämmtlichen Po