Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

88 Zweiter Abschnitt
hören, von der Art, dass alle Elemente und jedes
einmal durch den Ausdruck
Ill. l, bl, hm,
1a 2 3 ~c
gegeben werden, wenn hierin die Exponenten die
Werthe
h=-O, 1, 2,... - 1
h = 0, 1, 2,... - 1
h3 =0 1, 2,... m — 1
h=O0 1, 2,.o. m — 1
durchlaufen. Von den Exponenten n1, m,.. mn ist
jeder ein Theiler des vorhergehenden, und zugleich ist
m = -1 mm2 m3...m 0,
und daher enthält m keine andern Primfaktoren, als
welche auch in mn enthalten sind.
17. Dieser Satz ist, wie man sieht, aus dem Begriffe der
Gruppe selbst durch die allereinfachsten Ueberlegungen gewonnen worden, und die einzige Schwierigkeit, welche das
Verständniss finden kann, liegt nur in der grossen Abstraktheit des Gegenstandes. Absichtlich aber haben wir die Untersuchung so allgemein wie möglich gehalten, indem wir über
die Natur der die Gruppe bildenden Elemente keine weiteren
Annahmen machten, als diejenigen, auf denen die Betrachtung
wesentlich beruht, um eben dem Satze seine sehr allgemeine
Verwendbarkeit zu bewahren. Nunmehr wollen wir ihn
aber sogleich zur Anwendung bringen auf einen uns
schon geläufigen Fall, wollen nämlich unter den Elementen der Gruppe diejenigen Restclassen (mod. n)
verstehen, welche zu n relativ prim sind, sodass
m =- cp((n) zu setzen ist. Doch beschränken wir uns zunächst
auf den Fall, wo n eine ungerade Primzahl p ist. Hier ist
also m = - 1.
Dem allgemeinen Satze gemäss lassen sich gewisse jener
Restclassen:
-P,. 2.. P,