Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 85
16. Aehnlicherweise kann man nun fortfahren. Wir
ändern den Sinn der Aequivalenz dahin ab, dass wir
jetzt zwei Elemente der gegebenen Gruppe einander
äquivalent nennen, wenn beide ein- und demselben
Complexe (46) angehören. Um in der Bezeichnung diesen
neuen Sinn der Aequivalenz vom früheren zu unterscheiden,
wollen wir die Aequivalenz zweier Elemente a, a' im früheren
Sinne durch
a a,
ihre Aequivalenz im neuen Sinne durch
a Du a
bezeichnen. Die Elemente (45) sind dann unter einander in
diesem Sinne nicht äquivalent; dagegen bilden sie, wie man
sich sogleich überzeugt, insofern eine, in der vorigen enthaltene Gruppe, als jedes Produkt eines dieser Elemente mit
wieder einem von ihnen einem Elemente (45) im neuen Sinne
äquivalent ist, da es sich nothwendig in einem der Complexe
(46) befindet. Indem auf diese Art Gruppen von wieder
weiterem Sinne als zuvor die allgemeinen Gruppensätze von
neuem angewendet werden, findet sich vor allem, dass jedes
Element der Gruppe (45) zu einem bestimmten Exponenten
gehört, d. h. dass eine bestimmte kleinste Potenz desselben
dem Elemente 1 im neuen Sinne äquivalent, nämlich zum
ersten der Complexe (46) gehörig wird; und ferner, dass ein
Element p in der Gruppe (45) vorhanden ist, welches zu demjenigen Exponenten in3 gehört, der das kleinste gemeinsame
Vielfache aller, den einzelnen Elementen entsprechenden Exponenten ist; alsdann ist also
(2n3 1
d. h.
ß3 - 2 a
Gleichzeitig ist aber ß auch ein Element der weiteren Gruppe
(43), und da für jedes Glied der letzteren der entsprechende
Exponent in der oben definirten Zahl mn aufgeht, ist
m2 1,
d. h.
^1)12= a^.