Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 1ETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIESS. 10. N.0 77, 78~

1_

-- Lim. ______________
~ir/ \l 6 ___lr2ar _ _ -\2a7r a 2an 2anw-182 2 2aaT-I 2 ar
]a -1 —(2n- - -- - * 1 --— ). 2
c c 1 1 c
1 -2caTr I r2baSr l 0 2ban r2ba"r) Ir
Lim1a.- = Lim. b0 -pour chaque r, lorsque 6 devient zero: docne ---
Tn. 6 0po 1
(6\2&a^ 2 b a 868.. - 2bar r2balr I'r; mais on a ici: Lim.r26ba = (1b- ) - 1 --- - 4- +.
6l 1 c
],Lim. b lr == Lim. l ( -L-I = Lim.c — = im.c Li. — = - 1
1 — - - 1i- -
~c c
1_r2ca. 1 -rs-I
et par consequent: Lim. = —=-2ai 1 (-1 )=2aT: don, puisque en general l- -==I +s-1 = s
r2rac xi
j e cq (Sin. a x, Cos. ( $x) dx.= -LiLn. 8. 6 [q0 (Sin. a 8, Cos. ( 8) + 2 cp (Sin. 2 ca 8, Cos. 2 8 j) 4+
o
+ 3cp (Sin. 3a8, Cos. 368) +...+2aq, (Sin. 2ara6, Cos. 2arfi8)] -=-Lim. 6 [ 6p (Sin. ac8, Cos. 8) -+
+ 28 6{(Sin.26a8,Cos438) +... + 2awS{ (Sin.2ca7ra86,Cos. 2a 7T6) ] _ (Sin.ax,Cos.fx)dx,. (205)
lorsqu'on transforme la derniere serie en integrale deiniae: on a ici c fini et la condition (202).
78. Pour c infini le raisonnement precedent ne change pas, si ce n'est par rapport -
X. x xx
Lim. r; mais alors on a: Lim.r. Lim. 1- Lim.(l1 — 2)= =Lim.(1 + 6) (1 -6) == e- = 1
x
comme on auraic pu deduire de la relation e c e~ = 1, pour c infini. On a done toujours
sous la condition (202):
r27rac. 2as7r
cp (Sin. a x, Cos. ( x) dx cp (Sin. c a, Cos. x) x dx, pour c infini....... (206)
o 0
Mais quand on suppose b quelque quantite positive, moindre que 2 a w, on peut prendre ces
integrales entre les limites 0 et 2 w a c + b et diviser la distance des limites en deux parties, l'une
de 0 a 2 w a c, pour laquelle valent les formules trouvees, l'autre de 2 a c 2 a 2 c + b, ou l'on
peut faire x 2- 2 n a c + y, et ou done cp (Sin. ax, Cos. f3x) devient de nouveau (p (Sin. ay, Cos. 3y),
tandis que les limites de y deviennent 0 et a. Les formules (201), (204), (205), (2-06) donnent ainsi:
r27rac -b 2a7r rb
J C(p (Sin. ax, C xos. x) d=x c | J (Sin. ax, Cos. x) dx+ cp(Sin, x, os. )dx, c fini. (207)
Jo 0 0
Page 81. 11
WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.